Time-Varying Lossless Systems and the Inversion of Large Structured Matrices

Time-Varying Lossless Systems and the Inversion of Large Structured Matrices In the inversion of large matrices, direct methods might give undesired ‘unstable’ results. Valuable insight into the mechanism of this effect is obtained by viewing the matrix as the input-output operator of a time-varying system, which allows to translate ‘unstable’ into ‘anticausal’ but bounded inverses. Inner-outer factorizations and other lossless factorizations from system theory play the role of QR factorizations. They are computed by state space techniques and lead to a sequence of QR factorizations on time-varying realization matrices. We show how several such results can be combined to solve the inversion problem. Zeitvariante verlustlose Systeme und die Inversion großer strukturierter Matrizen Direkte Methoden ergeben bei der Inversion großer Matrizen m"oglicherweises ‘instabile’ Ergebnisse. Wertvolle Einsichten in den Mechanismus dieses Effektes erhält man durch die Auffassung der Matrix als Eingangs-/AusgangsOperator eines zeitvarianten Systems. Hierdurch werden ‘instabile’ in ‘antikausale’, aber beschränkte Inverse umgesetzt. Inner/Outer-Zerlegungen und andere verlustlose Faktorisierungen der linearen Systemtheorie übernehmen hierbei die Rolle der QR-Zerlegung. Sie werden auf der Basis von Zustandsmodellen berechnet und führen auf eine Folge von QR-Zerlegungen zeitvarianter Realisierungsmatrizen. Wir zeigen, wie aus solchen Ergebnissen eine Lösung des Inversionsproblems konstruiert werden kann.